МуниципальноеОбразовательное Учреждение
СредняяОбщеобразовательная школа №4
Коническиесечения
Выполнил
СпиридоновАнтон
ученик 11А класса
Проверил
КоробейниковаА. Т.
Тобольск –2006 г.
Понятие конических сечений
Виды коническихсечений
Исследование
Построение коническихсечений
Аналитический подход
Применение
Приложение
Список литературы
Введение.
Цель: изучить коническиесечения.
Задачи: научиться различатьвиды конических сечений, строить кинические сечения и применять аналитическийподход.
Конические сечения впервые предложилиспользовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, прирешении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.
Однажды наострове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу,который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотойжертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах.Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше реберпрежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула,что неверно поняли его предписание - удвоить было надо не ребра куба, а егообъём, то есть увеличить ребра куба в />раз. В терминах геометрическойалгебры, которой пользовались греческие математики, задача означала: по данномуотрезку а найти такие отрезки х и y такие, что а: х = х: y = y: 2a. Тогдадлина отрезка х будет равна />.
Приведеннуюпропорцию можно рассматривать как систему уравнений:
Но x2=ay и y2=2ax - это уравнения парабол. Поэтому для решения задачи следуетотыскать точки их пересечения. Если же учесть, что из системы можно получить иуравнение гиперболы xy=2a2, то эту же задачу возможно решитьнахождением точек пересечения параболы с гиперболой.
Для полученияконических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный илитупоугольный - плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Дляостроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей,имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный– параболу.
Отсюдапроизошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим вIII веке до нашей эры: эллипс (έλλείψίς), что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола (ύπέρβωλη)- преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола (παραβολη)- приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, чтовсе три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущейплоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить,что они простираются в бесконечность (Рис. 1).
Если провестисечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачиватьсекущую плоскость, оставляя одну точку её пересечения с конусом неподвижной, тоувидим, как окружность будет сначала вытягиваться, превратившись в эллипс.Затем вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность, и вместо эллипса получитсяпарабола, а потом плоскость пресечет и вторую полость конуса и получитсягипербола.
Понятиеконических сечений.
Конические сечения - это плоские кривые, которые получаются пересечением прямогокругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зренияаналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическоеместо точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключениемвырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениямиявляются эллипсы, гиперболы или параболы (Рис. 2).
При вращениипрямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с еепродолжениями описывает коническую поверхность, называемую поверхностью прямогокругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых,проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираютсяна одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующихпредставляет собой гипотенузу вращающегося треугольника (в известном егоположении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждаяобразующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего иповерхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Еслитакую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая иназывается коническим сечением. Она может быть трех типов:
1) еслиплоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекаетсятолько одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом;
2) еслисекущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая двеветви и называемая гиперболой;
3) еслисекущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.
Если секущаяплоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность,которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскостьможет пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сеченииполучается точка, как частный случай эллипса.
Еслиплоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе полости, то в сеченииполучается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы.
Если вершина бесконечно удалена, то коническаяповерхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельнойобразующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы. Коническиесечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид которых
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
и называются кривыми 2-гопорядка.
Виды коническихсечений.
Коническиесечения могут быть трёх типов:
1) секущая плоскость пересекает всеобразующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутаяовальная кривая - эллипс; окружность как частный случай эллипса получается,когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.
2) Секущая плоскость параллельнаодной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая,уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости.
3) Секущая плоскость пересекает обеполости конуса; линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковыхнезамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащихна обеих полостях конуса.
Исследование.
В техслучаях, когда конические сечение имеет центр симметрии (центр), т. е. являетсяэллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесенияначала координат в центр) к виду:
a11x2+2a12xy+ a22y2 = a33.
Дальнейшиеисследования таких (называемых центральными) конические сечения показывают, чтоих уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:
Ах2+ Ву2 = С,
если занаправления осей координат выбрать главные направления - направления главныхосей (осей симметрии) конических сечений. Если А и В имеют одинаковые знаки(совпадающие со знаком С), то уравнение определяет эллипс; если А и В разногознака, то - гиперболу.
Уравнениепараболы привести к виду (Ах2 + Ву2 = С) нельзя. Принадлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная осьсимметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая черезвершину параболы) её уравнение можно привести к виду:
ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХСЕЧЕНИЙ.
Изучаяконические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческиематематики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Былоустановлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, суммарасстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – какгеометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой;гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых додвух заданных точек постоянна.
Этиопределения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ ихпостроения с помощью натянутой нити.
Эллипс.Если концы нити заданной длины закреплены в точках F1 и F2(рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по тугонатянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F1 и F2называются/> фокусами эллипса, а отрезки V1V2и v1v2между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и />малымиосями. Если точки F1и F2совпадают, то эллипс превращается в окружность (Рис. 3).
Гипербола. При построении гиперболы точка P,острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам,установленным в точках F1 и F2, какпоказано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF2превосходит по длине отрезок PF1 на фиксированную величину,меньшую расстояния F1F2. При этом один конец нитипроходит под шпеньком F1, и оба конца нити проходят поверх шпенька F2.(Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить,сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV1Q) мывычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и,потягивая оба конца нити вниз за точку F2, а когда точка Pокажется ниже отрезка F1F2, придерживая нить за обаконца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем,предварительно поменяв шпеньки F1 и F2 (Рис.4).
Ветвигиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Этипрямые, называемые />асимптотамигиперболы, строятся, как показано на рисунке 4, б.Угловые
коэффициентыэтих прямых равны где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами,перпендикулярной отрезку F2F1; отрезокv1v2называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V1V2– ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналямипрямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v1, v2, V1, V2параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указатьместоположение точек v1 и v2. Онинаходятся на одинаковом расстоянии, равном
от точкипересечения осей O.Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov1и V2O игипотенузой F2O.
Еслиасимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется />равнобочной. Две гиперболы, имеющиеобщие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями,называются />взаимносопряженными.
Парабола.Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но />фокус параболы, по-видимому, впервыеустановил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую какгеометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) изаданной прямой, которая называется />директрисой. Построение параболы спомощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложеноИсидором Милетским (VI в.) (Рис. 5).
Расположимлинейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет ACчертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB ввершине Bтреугольника, а другой – в фокусе параболы F. Натянув остриемкарандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету ABчертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдольлинейки, точка Pбудет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой, так как общая длинанити равна AB,отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийсяотрезок нити PFдолжен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA.Точка пересечения Vпараболы с осью называется />вершиной параболы, прямая, проходящаячерез F и V, – />осью параболы.Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой,отсекаемый параболой, называется />фокальным параметром.Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Алгебраическаяклассификация. Валгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые,координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнениювторой степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записатьв общем, виде как
где не всекоэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворотаосей уравнение (1) можно привести к виду
ax2 + by2 + c = 0
Первоеуравнение получается из уравнения (1) при B2 > AC, второе – при B2= AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду,называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго видас q > 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорийсуществуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаковкоэффициентов.
1) Есликоэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественныхточек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечениеназывается мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).
2) Если a и bимеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс; при a =b – окружность.
3) Если a и bимеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола.
4) Если a и bимеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двухпересекающихся прямых.
5) Если a и bимеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка накривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимыепересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсеили, если a = b, стянутой в точку окружности.
6) Если либо a,либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническоесечение состоит из двух параллельных прямых.
7) Если либо a,либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существуетни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случаеговорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.
8) Если c =0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двухдействительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакогоконического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение(1) не второй степени.)
9) Уравнениявторого типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p > 0, а q= 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяетникакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второйстепени.
Применение
Конические сечения частовстречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокругСолнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случайэллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладаеттем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в однойточке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, гдеприменяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальныхмикрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусепараболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощныхпрожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала.Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например,закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома,задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении
Приложение
Список литературы.
1. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях.2001
2. Базылев В. Т., Дуничев К. И.,Иваницкая В. П… Учебное пособие для студентов 1 курса физико-математическихфакультетов педагогических институтах. Москва «просвещение» 1974
3. Верещагин Н.К., А.Шень. Лекции по математической логике итеории алгоритмов. 1999
4. Гельфанд И.М… Лекции по линейнойалгебре. 1998.
5. Гладкий А.В… Введение в современную логику. 2001
6. М.Э.Казарян. Курс дифференциальной геометрии(2001-2002).
7. Прасолов В.В… Геометрия Лобачевского 2004
8. Прасолов В.В… Задачи по планиметрии 2001
9. Шейнман О.К… Основы теории представлений. 2004
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.
Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.
См. также
НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА .
РАННЯЯ ИСТОРИЯ
Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (4 в. до н. э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба. Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (ок. 260-170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых - эллипс, парабола и гипербола. В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус (как на рис. 1), поэтому впервые стало ясно, что гипербола - кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс (рис. 1,а) образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола (рис. 1,б) - когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола (рис. 1,в) - когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.
ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу - как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу - как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна. Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.
Эллипс.
Если концы нити заданной длины закреплены в точках F1 и F2 (рис. 2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а отрезки V1V2 и v1v2 между точками пересечения эллипса с осями координат - большей и малой осями. Если точки F1 и F2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.
От точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov1 и V2O и гипотенузой F2O. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.
Парабола.
Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.). Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой LLў (рис. 4), и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой - в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой LLў, так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, т.е. PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, - осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.
Где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду ax2 + by2 + c = 0
или px2 + qy = 0. Первое уравнение получается из уравнения (1) при B2 № AC, второе - при B2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q № 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов. 1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b). 2) Если a и b имеют один знак, а c - противоположный, то коническое сечение - эллипс (рис. 1,а); при a = b - окружность (рис. 6,б).
Где a - постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы. Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку AE; но соотношение y2 = RQЧQS эквивалентно уравнению вида
Где a и b - постоянные, или, после сдвига осей, уравнению
Являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью x (x = a и x = -a) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = -b) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой, то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид:
Или, после переноса осей,
В этом случае точки пересечения с осью x, задаваемые соотношением x2 = a2, определяют поперечную ось, а точки пересечения с осью y, задаваемые соотношением y2 = -b2, определяют сопряженную ось. Если постоянные a и b в уравнении (4a) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду xy = k.
Теперь из уравнений (3), (2) и (4) мы можем понять смысл названий, данных Аполлонием трем основным коническим сечениям. Термины "эллипс", "парабола" и "гипербола" происходят от греческих слов, означающих "недостает", "равен" и "превосходит". Из уравнений (3), (2) и (4) ясно, что для эллипса y2 (2b2/a) x. В каждом случае величина, заключенная в скобки, равна фокальному параметру кривой. Сам Аполлоний рассматривал только три общих типа конических сечений (перечисленные выше типы 2, 3 и 9), но его подход допускает обобщение, позволяющее рассматривать все действительные кривые второго порядка. Если секущую плоскость выбрать параллельной круговому основанию конуса, то в сечении получится окружность. Если секущая плоскость имеет только одну общую точку с конусом, его вершину, то получится сечение типа 5; если она содержит вершину и касательную к конусу, то мы получаем сечение типа 8 (рис. 6,б); если секущая плоскость содержит две образующие конуса, то в сечении получается кривая типа 4 (рис. 6,а); при переносе вершины в бесконечность конус превращается в цилиндр, и если при этом плоскость содержит две образующие, то получается сечение типа 6. Если на окружность смотреть под косым углом, то она выглядит как эллипс. Взаимосвязь между окружностью и эллипсом, известная еще Архимеду, становится очевидной, если окружность X2 + Y2 = a2 с помощью подстановки X = x, Y = (a/b) y преобразовать в эллипс, заданный уравнением (3a). Преобразование X = x, Y = (ai/b) y, где i2 = -1, позволяет записать уравнение окружности в виде (4a). Это показывает, что гиперболу можно рассматривать как эллипс с мнимой малой осью, или, наоборот, эллипс можно рассматривать как гиперболу с мнимой сопряженной осью. Соотношение между ординатами окружности x2 + y2 = a2 и эллипса (x2/a2) + (y2/b2) = 1 непосредственно приводит к формуле Архимеда A = pab для площади эллипса. Кеплеру была известна приближенная формула p (a + b) для периметра эллипса, близкого к окружности, но точное выражение было получено лишь в 18 в. после введения эллиптических интегралов. Как показал Архимед, площадь параболического сегмента составляет четыре третьих площади вписанного треугольника, но длину дуги параболы удалось вычислить лишь после того, как в 17 в. было изобретено дифференциальное исчисление.
ПРОЕКТИВНЫЙ ПОДХОД
Проективная геометрия тесно связана с построением перспективы. Если начертить окружность на прозрачном листе бумаги и поместить под источником света, то эта окружность будет проецироваться на находящуюся ниже плоскость. При этом, если источник света расположен непосредственно над центром окружности, а плоскость и прозрачный лист параллельны, то проекция также будет окружностью (рис. 8). Положение источника света называется точкой схода. Она обозначена буквой V. Если V расположена не над центром окружности или если плоскость не параллельна листу бумаги, то проекция окружности принимает форму эллипса. При еще большем наклоне плоскости большая ось эллипса (проекции окружности) удлиняется, и эллипс постепенно переходит в параболу; на плоскости, параллельной прямой VP, проекция имеет вид параболы; при еще большем наклоне проекция принимает вид одной из ветвей гиперболы.
Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .
Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс,… … Википедия
Кривые, получающиеся при пересечении конуса плоскостью в разных направлениях; их виды: эллипс, гипербола, парабола. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ так назыв. кривые,… … Словарь иностранных слов русского языка
Линии пересечения круглого конуса (см. Коническая поверхность) с плоскостями, не проходящими через его вершину. В зависимости от взаимного расположения конуса и секущей плоскости получают три типа конических сечений: эллипс, параболу, гиперболу … Большой Энциклопедический словарь
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ - линии пересечения прямого кругового конуса (см. (1)) плоскостями, не проходящими через его вершину. К таким линиям относятся: (см.), (см.) и (см.). Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получается окружность. В… … Большая политехническая энциклопедия
Линии, которые получаются сечением прямого кругового Конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трёх типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия… … Большая советская энциклопедия
Линии пересечения круглого конуса (см. Коническая поверхность) с плоскостями, не проходящими через его вершину. В зависимости от взаимного расположения конуса и секущей плоскости получают три типа конического сечения: эллипс (рис., а), параболу… … Энциклопедический словарь
Муниципальное Образовательное Учреждение
Средняя Общеобразовательная школа №4
Конические сечения
Выполнил
Спиридонов Антон
ученик 11 А класса
Проверил
Коробейникова А. Т.
Тобольск – 2006 г.
Введение
Понятие конических сечений
Виды конических сечений
Исследование
Построение конических сечений
Аналитический подход
Применение
Приложение
Список литературы
Введение.
Цель: изучить конические сечения.
Задачи: научиться различать виды конических сечений, строить кинические сечения и применять аналитический подход.
Конические сечения впервые предложил использовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, при решении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.
Однажды на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу, который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотой жертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах. Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула, что неверно поняли его предписание - удвоить было надо не ребра куба, а его объём, то есть увеличить ребра куба в раз. В терминах геометрической алгебры, которой пользовались греческие математики, задача означала: по данному отрезку а найти такие отрезки х и y такие, что а: х = х: y = y: 2a. Тогда длина отрезка х будет равна .
Приведенную пропорцию можно рассматривать как систему уравнений:
Но x 2 =ay и y 2 =2ax - это уравнения парабол. Поэтому для решения задачи следует отыскать точки их пересечения. Если же учесть, что из системы можно получить и уравнение гиперболы xy=2a 2 , то эту же задачу возможно решить нахождением точек пересечения параболы с гиперболой.
Для получения конических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный - плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Для остроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей, имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный – параболу.
Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим в III веке до нашей эры: эллипс (έλλείψίς), что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола (ύπέρβωλη) - преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола (παραβολη) - приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить, что они простираются в бесконечность (Рис. 1).
Если провести сечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачивать секущую плоскость, оставляя одну точку её пересечения с конусом неподвижной, то увидим, как окружность будет сначала вытягиваться, превратившись в эллипс. Затем вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность, и вместо эллипса получится парабола, а потом плоскость пресечет и вторую полость конуса и получится гипербола.
Понятие конических сечений.
Конические сечения - этоплоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы (Рис. 2).
При вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с ее продолжениями описывает коническую поверхность, называемую поверхностью прямого кругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых, проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираются на одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующих представляет собой гипотенузу вращающегося треугольника (в известном его положении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждая образующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего и поверхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Если такую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая и называется коническим сечением. Она может быть трех типов:
1) если плоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекается только одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом;
2) если секущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая две ветви и называемая гиперболой;
3) если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.
Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскость может пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сечении получается точка, как частный случай эллипса.
Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе полости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы.
Если вершина бесконечно удалена, то коническая поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы. Конические сечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид которых
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
и называются кривыми 2-го порядка.
Виды конических сечений.
Конические сечения могут быть трёх типов:
1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.
2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости.
3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.
В тех случаях, когда конические сечение имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:
a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .
Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) конические сечения показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:
Ах 2 + Ву 2 = С,
если за направления осей координат выбрать главные направления - направления главных осей (осей симметрии) конических сечений. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.
Уравнение параболы привести к виду (Ах 2 + Ву 2 = С) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:
ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ.
Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.
Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.
Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малыми осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность (Рис. 3).
Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1, и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F 1 и F 2 (Рис. 4).
Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся, как показано на рисунке 4,б. Угловые
коэффициенты этих прямых равны где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 2 F 1 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном
от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O.
Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.
Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.) (Рис. 5).
Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой, так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Алгебраическая классификация. В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем, виде как
где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду
ax 2 + by 2 + c = 0
Первое уравнение получается из уравнения (1) при B 2 > AC, второе – при B 2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q > 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.
1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).
2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс; при a = b – окружность.
3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола.
4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых.
5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности.
6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.
7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.
8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)
9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p > 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.
Применение
Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении
Приложение
Список литературы.
1. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях. 2001
2. Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П.. Учебное пособие для студентов 1 курса физико-математических факультетов педагогических институтах. Москва «просвещение» 1974
3. Верещагин Н.К., А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. 1999
4. Гельфанд И.М.. Лекции по линейной алгебре. 1998.
5. Гладкий А.В.. Введение в современную логику. 2001
6. М.Э.Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002).
7. Прасолов В.В.. Геометрия Лобачевского 2004
8. Прасолов В.В.. Задачи по планиметрии 2001
9. Шейнман О.К.. Основы теории представлений. 2004
Здравствуйте! На этом уроке мы поговорим о конических сечениях. Я расскажу и покажу, что это вообще такое и почему они именно так называются. С некоторыми коническими сечениями вы уже знакомы. Давайте их запишем: окружность, эллипс, парабола и гипербола. Вы знаете, что они собой представляют. Мне так кажется. Лично я, когда начинала изучать конические сечения, уже знала, что такое окружность, что такое парабола и даже знала, что такое эллипс и гипербола. А вот почему их называют коническими сечениями? Попросту говоря – потому, что они являются пересечениями плоскости с конусом. Как это выглядит, я сейчас покажу. Но сначала давайте нарисуем каждое сечение в отдельности. Окружность. Мы все знаем, что это такое. Окружность выглядит вот так, все точки равноудалены от центра. Расстояние, на котором они находятся, называется радиусом, обозначается буквой r. Вот это центр. Окружность – это все точки, находящиеся на расстоянии r от центра. Мы изучали это ранее. Эллипс – это сжатая окружность, которая выглядит примерно так. Он может выглядеть так или вот так. Сложно это показать с помощью моих инструментов, но он также может быть наклонен или повернут в любую из сторон. Я думаю, вы поняли. Фактически окружность – это частный случай эллипса. Это эллипс, который одинаково вытянут в обе стороны, идеально симметричен. Парабола… мы тоже о ней говорили… Пожалуй, я проведу линии, чтобы отделить одно от другого. Итак, парабола выглядит примерно так. Она имеет U-образную форму. Это классическая парабола. Я не буду писать сейчас уравнение… нет, все-таки напишу, вы наверняка его помните, y=x в квадрате. Можно крутить-вертеть как угодно, все равно это будет парабола. Например, это тоже будет парабола. Ее уравнение x=y в квадрате. Я думаю, вы знаете, как в общем выглядит парабола. А вот о том, как ее изобразить, и какие интересные точки есть у параболы, мы еще поговорим. И последнее сечение (вы наверняка его видели) – это гипербола. Можно сказать, что она выглядит как две параболы, но все же не совсем так. Они выглядят менее U-образно, более открыто, я поясню, что я имею в виду. Гипербола обычно выглядит вот так. Это оси, сейчас я проведу еще асимптоты. Это асимптоты, это еще не гипербола. Гипербола же выглядит примерно так. Она может проходить вот так, очень близко к асимптотам, близко к этим голубым линиям. И то же самое с этой стороны. По сути, гипербола представляет собой две кривые. Это одна часть гиперболы. Мы ее отображаем относительно оси У и получаем вторую часть гиперболы. Эти две кривые и есть гипербола. Гипербола может выглядеть и по-другому. Она проходит под асимптотами здесь и над асимптотами вот здесь. Синим цветом изображена одна гипербола, а малиновым – совсем другая. Вот мы с вами и рассмотрели все графики. Вероятно, вы задаетесь вопросом: «Но почему они все-таки называются коническими сечениями? Почему не назвать их болами или разновидностями окружности или как-нибудь еще? Как они взаимосвязаны? Какое отношение они имеют к сечениям и конусу?» Понятное дело, что-то общее есть между окружностью и эллипсом. Эллипс – это просто сжатая окружность. Можно даже сказать, что парабола и гипербола как-то связаны. Названия обеих кривых заканчиваются на «бола». И даже внешне они похожи, обе в форме английской буквы U. Только у параболы ветвь одна, а у гиперболы их две, которые направлены в противоположные стороны. Но что связывает все эти кривые? Причина в слове «конические». Я постараюсь нарисовать трехмерный конус. Это верхнее основание конуса. В основании лежит эллипс. На самом деле у него нет основания как такового, мы же можем продлить прямые. Я как бы надрезала его, чтобы вы могли видеть, что это конус. Соответственно, это его нижнее основание. Давайте возьмем различные пересечения плоскости с этим конусом и посмотрим, получатся ли такие сечения, о которых мы только что говорили. Проведем вертикальную ось. Это будет ось конуса. И проведем секущую плоскость так, чтобы она была перпендикулярна этой оси. Я попробую нарисовать эту плоскость. Проведем одну линию, это передний край плоскости, находящийся ближе к вам, а теперь вторая линия вот здесь сзади. На самом деле плоскость ни имеет краев, она бесконечна. Если эта плоскость перпендикулярна оси конуса (здесь плоскость проходит за конусом), то пересечение этой плоскости с конусом будет выглядеть следующим образом. Вы смотрите на нее под углом, но если взглянуть на нее сверху, если повернуть плоскость вот так, если смотреть сверху вниз, то это пересечение будет окружностью. Теперь, если мы возьмем плоскость и наклоним ее немного, ситуация уже будет следующей. Одна сторона, предположим, вот такая, другая, соответственно, такая. Соединим их. Итак, перед нами секущая плоскость, и она не ортогональна, или не перпендикулярна оси конуса. Если взять пересечение этой плоскости с конусом… На следующих занятиях я приведу доказательства того, что в результате пересечения разных плоскостей с конусом получаются определенные конические сечения (мы получим уравнения соответствующих кривых). Это будет уже скоро. Вот примерно так будет выглядеть сечение в данном случае. И если смотреть на плоскость сверху, то сечение, которое я только что нарисовала, будет выглядеть так. Это будет эллипс. И если я наклоню плоскость в другую сторону, получится тоже эллипс, но будет выглядеть он немного по-другому. Теперь вы, я думаю, понимаете, почему и окружность, и эллипс называют коническими сечениями. А что произойдет, если мы еще больше наклоним эту плоскость? Если, например, плоскость будет выглядеть следующим образом… хорошее упражнение по трехмерному рисованию. Вот как-то так, проведем ее через эту точку. Вот эта плоскость. Я нарисовала ее так, чтобы она пересекала только нижний конус. Плоскость параллельна образующей верхнего конуса (образующими называются отрезки, соединяющие вершину конуса с точками границы основания). В этом случае пересечение плоскости и конуса будет в этой точке. Следовательно, пересечение будет выглядеть вот таким образом. Как-то так. И если посмотреть сверху, оно будет выглядеть вот так. Как видите, это парабола. Согласитесь, очень интересно. Пересечение меняет форму в зависимости от наклона плоскости. Мы начали с окружности. Немного наклонив плоскость, получили эллипс. По мере увеличения наклона плоскости эллипс становится все более сжатым. И когда плоскость стала параллельна образующей конуса, мы получили параболу. Вот вам и связь. Мы получаем параболу в результате, так сказать, открытия эллипса. Если же мы продолжим наклонять плоскость, то она пересечет как верхнюю, так и нижнюю части конуса. Вот моя новая плоскость. Она выглядит как-то так. Пересечение этой зеленой плоскости с конусом… наверное, мне стоило бы перерисовать это все. Но на это уйдет много времени. Я надеюсь, вы и так все понимаете. Итак, пересечение будет выглядеть вот так. Здесь плоскость пересекает нижний конус, а здесь – верхний. В результате мы получим что-то вроде этого. Это пересечение с нижним конусом, а это пересечение с верхним конусом. Запомните, плоскость сама по себе бесконечна во всех направлениях. Теперь, я думаю, вы понимаете, что такое конические сечения и почему их именно так называют. Надеюсь, все было понятно. На следующих уроках я уже более детально расскажу о каждом сечении в отдельности. Мы поговорим об уравнениях каждого сечения и о том, как их распознать. Также я покажу вам, как провести эти сечения, исходя из уравнения. Наше занятие подошло к концу. На этом все! До скорых встреч!
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ГОРОДА МОСКВЫ
«КОЛЛЕДЖ ПОЛИЦИИ»
Реферат по дисциплине Математика
На тему: «Конические сечения и их применения в технике»
Выполнила
Курсант 15 взвода
Алексеева А.И
Преподаватель
Зайцева О.Н.
Москва
2016
Содержание:
Введение
1. Понятие конических сечений……………………………………………5
2. Виды конических сечений……………………………………….............7
3. Исследование……………………………………………………………..8
4. Свойства конических сечений…. ……………………………………….9
5. Построение конических сечений……………………………………….10
6. Аналитических подход…………………………………………………14
7. Приминение……………………………………………………………….16
8. Поперек конуса…………………………………………………………..17
Список использованной литературы
Введение
Конические сечения впервые предложил использовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, при решении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.
Однажды на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу, который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотой жертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах. Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула, что неверно поняли его предписание - удвоить было надо не ребра куба, а его объём, то есть увеличить ребра куба в раз.
Для получения конических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный - плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Для остроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей, имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный – параболу.
Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим в III веке до нашей эры: эллипс, что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола - преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола - приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить, что они простираются в бесконечность (рис.1)
Если провести сечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачивать секущую плоскость, оставляя одну точку её пересечения с конусом неподвижной, то увидим, как окружность будет сначала вытягиваться, превратившись в эллипс. Затем вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность, и вместо эллипса получится парабола, а потом плоскость пресечет и вторую полость конуса и получится гипербола.
Долгое время конические сечения не находили применения, пока ими всерьёз не заинтересовались астрономы и физики. Выяснилось, что эти линии встречаются в природе (пример тому - траектории небесных тел) и графически описывают многие физические процессы (здесь лидирует гипербола: вспомним хотя бы закон Ома и закон Бойля-Мариотта), не говоря уже об их применении в механике и оптике. На практике, чаще всего в технике и строительстве, приходится иметь дело с эллипсом и параболой.
Рис.1
эпюр
Понятие конических сечений
Конические сечения - это плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы (Рис. 2).
Рис.2
При вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с ее продолжениями описывает коническую поверхность, называемую поверхностью прямого кругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых, проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираются на одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующих представляет собой гипотенузу вращающегося треугольника (в известном его положении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждая образующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего и поверхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Если такую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая и называется коническим сечением. Она может быть трех типов:
1) если плоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекается только одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом;
2) если секущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая две ветви и называемая гиперболой;
3) если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.
Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскость может пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сечении получается точка, как частный случай эллипса.
Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе плоскости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы.
Если вершина бесконечно удалена, то коническая поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы. Конические сечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид которых
Ax
2
+ Вху +
C
+
Dx
+
Ey
+
F
= 0 и называются кривыми 2-го порядка.
(коническое сечение)
Виды конических сечений .
Конические сечения могут быть трёх типов:
1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.
2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости.
3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.
(рис.1) парабола (рис.2) эллипс (рис.3) гипербола
Исследование
В тех случаях, когда конические сечение имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:
a 11 x 2 +2xy + a 22 y 2 = a 33 .
Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) конические сечения показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:
Ах 2 + Ву 2 = С,
если за направления осей координат выбрать главные направления - направления главных осей (осей симметрии) конических сечений. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.
Уравнение параболы привести к виду (Ах 2 + Ву 2 = С) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:
y 2 = 2рх.
СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
Определения Паппа. Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F - заданная точка (фокус), а L - заданная прямая (директриса), не проходящая через F, и DF и DL - расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P, для которых отношение DF:DL является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e < 1 коническое сечение - эллипс; при e > 1 - гипербола; при e = 1 - парабола. Если F лежит на L, то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями. Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса - бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю.
Свойства. Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа, Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L 1 , L 2 , L 3 и L4 (две из которых могут совпадать) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L 1 и L 2 пропорционально произведению расстояний от P до L 3 и L 4 , то геометрическое место точек P является коническим сечением.
ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.
Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.
Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малыми осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность (Рис. 3).
рис.3
Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1 , и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F 1 и F 2 (Рис. 4).
рис.4
Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы. Угловые коэффициенты этих прямых равны где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 2 F 1 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O.
Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.
Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.) (Рис. 5).
Рис.5
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Алгебраическая классификация. В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем, виде как где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду
ax 2 + by 2 + c = 0
или
px 2 + q y = 0.
Первое уравнение получается из уравнения (1) при B2 > AC, второе - при B 2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q > 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.
1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).
2) Если a и b имеют один знак, а c - противоположный, то коническое сечение - эллипс; при a = b - окружность.
3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение - гипербола.
4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых.
5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение - две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности.
6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.
7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.
8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)
9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p > 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.
Приминение
Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.
Все тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам. Небесные тела, попадающие в Солнечную систему из других звездных систем, движутся вокруг Солнца по гиперболической орбите и, если на их движение не оказывают существенного влияния планеты Солнечной системы, покидают се по этой же орбите. По эллипсам движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна, а космические корабли, запущенные к другим планетам, движутся по окончании работы двигателей по параболам или гиперболам (в зависимости от скорости) до тех пор, пока притяжение других планет или Солнца не станет сравнимо с земным притяжением (рис. 3).
Поперёк конуса
Эллипс и его частный случай - окружность, параболу и гиперболу легко получить экспериментально. На роль конуса вполне подойдёт, например, вафельный рожок для мороженого. Мысленно проводим одну его образующую и разрезаем рожок под разными углами к ней. Задача - сделать всего четыре попытки и получить на срезах все возможные конические сечения. Ещё проще провести опыт с карманным фонариком: в зависимости от его положения в пространстве конус света даст на стене комнаты пятна разной формы. Граница каждого пятна - одно из конических сечений. Поворачивая фонарик в вертикальной плоскости, вы увидите, как одна кривая сменяет другую: окружность вытягивается в эллипс, затем он превращается в параболу, а она, в свою очередь, в гиперболу.
Математик решает ту же задачу теоретически, сравнивая два угла: α - между осью конуса и образующей и β - между секущей плоскостью и осью конуса. И вот результат: при α < β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α > β - ветвь гиперболы. Если считать образующие прямыми, а не отрезками, то есть рассмотреть неограниченную симметричную фигуру из двух конусов с общей вершиной, станет понятно, что эллипс - замкнутая кривая, парабола состоит из одной бесконечной ветви, а гипербола - из двух.
Простейшее коническое сечение - окружность - можно начертить, воспользовавшись ниткой и гвоздиком. Достаточно привязать один конец нитки к гвоздику, воткнутому в бумагу, а другой - к карандашу и натянуть. Сделав полный оборот, карандаш очертит окружность. А можно воспользоваться циркулем: меняя его раствор, легко нарисовать целое семейство окружностей.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Верещагин Н.К., А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. 1999
2. Прасолов В.В.. Геометрия Лобачевского 2004
4. Прасолов В.В.. Геометрия Лобачевского 2004